Zlatý medailista Matej Bachniček: Vyriešil som najnáročnejšie zadanie matematickej olympiády v Austrálii

Pre TV JOJ si uviedol, že na medzinárodnej olympiáde riešite matematické zadania štyri a pol hodiny. V dnešnej dobe má mnoho ľudí problém udržať si pozornosť pri jednej činnosti. Mal si s tým na začiatku problém aj ty?

Pre mňa to nie je až tak dlhá doba. Olympiádam a podobným súťažiam sa venujem už pomerne dlho. Väčšina kôl na Slovensku trvá približne štyri hodiny, takže som na to zvyknutý. Viem, že sa v tej chvíli musím sústrediť na súťaž, a tak to jednoducho robím. Súťaženie ma baví, takže som nikdy nemal pocit, že by som počas toho chcel robiť niečo iné.

Koľko dní z vášho desaťdňového pobytu v Austrálii ste strávili súťažením?

Dva dni, takže to nie je až také náročné. Podobne tak to bolo aj na Slovensku, kde celoštátne kolo trvalo rovnako dlho. Z časového hľadiska sú náročnejšie výberové sústredenia, na ktorých sa zostavujú tímy na medzinárodné súťaže. Na matematickom sa súťaží päť dní po štyri a pol hodiny, na informatickom zvyčajne tri až sedem hodín počas siedmich dní.

Koľko príkladov vyriešiš za túto dobu na súťaži?

Každý deň sú tri úlohy, zoradené podľa náročnosti. Prvý deň sú príklady očíslované od 1 do 3, druhý deň od 4 do 6. Jednotka a štvorka sú v porovnaní s ostatnými úlohami na IMO „ľahké“, takže tie sa mi väčšinou podarí vyriešiť pomerne rýchlo. Dvojka a päťka sú stredne náročné a dĺžka riešenia závisí od toho, ako mi sadne zadanie. Trojka a šestka sú už veľmi ťažké a väčšinou ich nevyriešim úplne celé. Vlani aj tento rok som na IMO na plný počet bodov vyriešil obe ľahké a stredné úlohy, v Austrálii aj jednu ťažkú úlohu.

Ktorými úlohami najradšej začínaš?

Najskôr tými najľahšími, pretože všetky úlohy sú za rovnaký počet bodov. Dosť často sa mi však stane, že sa zaseknem na stredne ťažkej úlohe, a tak si prečítam tú najťažšiu a začnem rozmýšľať nad ňou. Niekedy je lepšie vrátiť sa k úlohe o chvíľu neskôr a skúsiť ju riešiť úplne odznova. Aj keď sú úlohy zoradené podľa náročnosti, nie každému poradie vyhovuje – každý je totiž silnejší v iných oblastiach matematiky.

Na matematickej olympiáde v Austrálii si sa stal jedným zo šiestich súťažiacich celej olympiády, ktorí vyriešili najťažšie zadanie. Aká to bola úloha?

Išlo o úlohu číslo šesť – najťažšiu úlohu druhého dňa, ktorá bola podľa výsledkov zároveň najnáročnejšou úlohou celého ročníka Medzinárodnej matematickej olympiády.

V čom spočívala jej náročnosť?

Dôležité bolo mať dobrý nápad na začiatku – potom to už viac-menej išlo. Zadanie znie pomerne jednoducho a je krátke:

„Máš štvorcovú mriežku 2025 * 2025 a chceš do nej umiestniť niekoľko dlaždíc – môžu to byť obdĺžniky či štvorce a môžu byť rovnako či rôzne veľké. Musíš ich umiestniť tak, aby v každom riadku aj v každom stĺpci bolo práve jedno nepokryté políčko. Koľko najmenej dlaždíc potrebuješ?“

Toto zadanie mi trvalo vyriešiť určite dlhšie než štvrtá či piata úloha.

Ako si pristupoval k jej riešeniu?

Nájsť výslednú konštrukciu bolo v tomto prípade pomerne jednoduché, aj keď to spočiatku nebolo úplne zrejmé. Hlavná náročnosť spočívala v tom, že bolo treba dokázať, že žiadne lepšie riešenie než to navrhnuté neexistuje. Za správne určenie počtu dlaždíc a spôsobu ich umiestnenia by som dostal  len jeden bod zo siedmich. Ostatné body mi boli udelené za dôkaz, že sa naozaj nedá použiť menší počet dlaždíc. Takýto dôkaz sa dal navrhnúť viacerými spôsobmi, no väčšina z nich bola podľa mňa výrazne náročnejšia než ten, ktorý som použil ja.

Kto vytvára takéto zadania pre olympiády?

Na Slovensku úlohy pripravuje komisia, ktorú tvoria Slováci a Česi. Zaujímavé je, že slovenské a české národné kolá majú rovnaké zadania. Čo sa týka medzinárodnej olympiády – tam môže úlohu navrhnúť v podstate ktokoľvek, ale väčšinou sú to bývalí súťažiaci a vedúci tímov. Svoje nápady môžu poslať výberovej komisii IMO, ktorá vyberie niekoľko najvhodnejších zadaní pre každú súťažnú oblasť – geometria, kombinatorika, algebra a teória čísel. Tesne pred samotnou súťažou sa potom stretnú vedúci tímov, ktorí diskutujú a hlasujú o tom, ktoré príklady sa nakoniec použijú. Návrhy úloh posiela napríklad aj Patrik Bak, bývalý úspešný reprezentant Slovenska na IMO. Minimálne jedna jeho úloha už na IMO použitá bola – v roku 2022, ako zadanie číslo štyri, teda prvá úloha druhého súťažného dňa.

Keď už máš za sebou toľko vyriešených úloh, neláka ťa vymyslieť si aj svoju vlastnú?

Popravde, zopár úloh som už vymyslel, ale neboli to úlohy na matematickú olympiádu, skôr pre korešpondenčný seminár Riešky. Tento seminár je určený žiakom základných škôl a riešia sa tam úlohy podobného typu ako na matematickej olympiáde.

V akej oblasti matematiky sa cítiš najistejšie?

Moja obľúbená oblasť je momentálne kombinatorika. Tam patrí napríklad vyššie spomenutá úloha číslo šesť z tohtoročnej medzinárodnej matematickej olympiády. Ide o hravé úlohy, ktorých riešenie často vyžaduje nejaký originálny nápad. V poslednej dobe sa mi taktiež zapáčila geometria, ktorú som predtým nemal až tak rád.

Organizátori olympiád vždy radi súťažiacim ukážu niečo typické z hostiteľskej krajiny. Tento rok si bol na medzinárodných olympiádach na cestovateľsky zaujímavých miestach – v Austrálii s matematikou a v Bolívii s informatikou. Čo všetko ste tam mali možnosť zažiť okrem súťaženia?

Áno, sú to naozaj cestovateľsky zaujímavé destinácie. Napríklad v Austrálii bolo pre mňa zaujímavé už len samotné miesto, kde sa súťaž konala – Sunshine Coast. Rád som trávil čas v okolí hotela, kde bola lagúna, okolo ktorej voľne pobehovali klokany. Počas nesúťažných dní sme šli do zábavného parku a zoo, kde sme videli zvieratá, ktoré žijú iba v Austrálii – okrem spomínaných klokanov napríklad aj koaly. V Bolívii sme bývali v hlavnom meste Sucre, kde sme absolvovali prehliadku historického centra a pozreli si kaštieľ. My zo slovenského tímu sme sa navyše vybrali na túru po chodníku Inkov v okolitých kopcoch, ktoré ležia v nadmorskej výške okolo 3500 metrov nad morom.

Ktorá časť medzinárodných olympiád ťa napĺňa viac – súťaženie alebo cestovanie?

Na olympiády chodím hlavne kvôli samotnej súťaži, pretože ma baví riešiť úlohy. Tieto rôzne zážitky sú však určite príjemným bonusom.

Na medzinárodných olympiádach sa stretáva široká komunita – od organizátorov cez súťažiacich a ich vedúcich až po zaujímavé osobnosti, ktoré sú súčasťou programu. Akých ľudí si mal možnosť na súťažiach stretnúť?

Áno, na medzinárodnej olympiáde bývajú aj prednášky odborníkov. Na IMO v Austrálii aj v Anglicku prednášal Terence Tao – pravdepodobne najlepší matematik súčasnej doby. Venuje sa analytickej teórii čísel (skúma vlastnosti celých čísel pomocou funkcií, nekonečných radov či limit – vďaka nej lepšie rozumieme napríklad rozloženiu prvočísel, pozn. red.). Aj on kedysi súťažil na IMO – bol jej najmladším účastníkom a dokonca aj najmladším držiteľom zlatej medaily. Zúčastnil sa jej už ako desaťročný, čo je neuveriteľne skoro.

A ty si sa kedy dostal na svoju prvú medzinárodnú súťaž?

Moja prvá medzinárodná skúsenosť je z roku 2021, keď som sa v tercii ako najmladší zo Slovenska kvalifikoval na Matematickú súťaž juniorov z Česka, Poľska a Slovenska (CPSJ). Prvá „veľká“ medzinárodná súťaž prišla v roku 2022, kedy som sa ako kvartán – čiže deviatak – po prvý raz dostal z celoštátneho kola matematickej olympiády na výberové sústredenie pred IMO a MEMO (Stredoeurópska matematická olympiáda, pozn. red.).

Z výberového sústredenia postupujú súťažiaci z prvého až šiesteho miesta na IMO. Ďalší šiesti, ktorí nie sú v maturitnom ročníku, idú na MEMO. Ja som skončil na ôsmom mieste a tým pádom som sa kvalifikoval na MEMO vo Švajčiarsku, kde som získal čestné uznanie.

V posledných troch rokoch som reprezentoval Slovensko na IMO. Informatickým súťažiam sa venujem posledné 3 roky – dvakrát som sa zúčastnil Stredoeurópskej olympiády v informatike (CEOI) a tento rok som získal bronzovú medailu na Medzinárodnej olympiáde v informatike (IOI).

Bez matematiky by informatika neexistovala, takže venovať sa obom oblastiam naraz poskytuje množstvo výhod. Ako ti pomáha kombinovať matematiku s informatikou?

Áno, ako si sama povedala, tieto dve oblasti majú veľa spoločného a dobre sa prelínajú. Najmä v informatike pomáha vedieť matematiku – obzvlášť užitočná je kombinatorika, ktorá je zároveň mojou najobľúbenejšou oblasťou. Občas sa tiež stane, že mi nejaká znalosť z informatiky pomôže v matematike.

Hneď prvý rok, ako si začal so súťažením v informatike, si v nej zaznamenal úspechy.

Vôbec som nečakal, že sa za jeden rok dostanem v informatike na takú vysokú úroveň. Moja príprava vyzerala väčšinou tak, že okrem príprav na domáce a ďalšie kolá olympiády som riešil aj Korešpondenčný seminár z programovania a zúčastňoval sa rôznych sústredení informatikov, ktoré organizuje Trojsten. Takto som sa naučil množstvo užitočných vecí. Nerátal som ale s tým, že už prvý rok sa dostanem na CEOI. Jednoducho som sa pripravoval na olympiádu, riešil seminár, bol na sústredení – a zrazu som sa pomerne výrazne zlepšil v informatike.

Kto všetko ti bol nápomocní pri prípravách na súťaže?

Spočiatku ma inšpiroval môj brat Jožko aj môj tato, ktorý nás oboch priviedol k riešeniu matematických seminárov a olympiád. Sám bol kedysi úspešným riešiteľom matematickej olympiády.

Keď sa Jožko venoval matematickým seminárom a olympiádam, chcel som riešiť tie isté úlohy ako on. Zadania boli určené pre deti o dva roky staršie odo mňa, čo mi veľmi pomohlo. Každý rok sme spolu chodili na viaceré matematické sústredenia a tábory.

Aj keď sa stále podporujeme a fandíme si, ako súrodenci sa zvykneme aj priateľsky doberať. Napríklad v roku, keď som sa z IMO v Japonsku vrátil bez medaily – „iba“ s čestným uznaním – a Jožko získal na geografickej olympiáde v Indonézii striebro, trochu si ma kvôli tomu doberal a ukazoval mi, ako taká medaila vyzerá. V nasledujúcom roku som mu to síce vrátil, keď som mu po návrate z Anglicka ukazoval, ako vyzerá zlatá medaila, ale o mesiac neskôr aj on priniesol domov zlatú medailu z geografickej olympiády v Írsku – a tak to bolo vyrovnané.

Podporujú ma aj v škole – keď nemôžem byť kvôli súťažiam či rôznym sústredeniam na vyučovaní, tak sú veľmi chápaví, ale všetky resty si musím potom doplniť. S prípravou na olympiády mi pomáha aj môj učiteľ matematiky a informatiky Anton “Anino“ Belan.

Prečítajte si rozhovor s Matejovým bratom Jozefom Bachničkom, reprezentantom Slovenska na medzinárodných geografických olympiádach

Tento rok si sa zúčastnil Experience Cambridge. O čom tento program bol?

Je to program pre potenciálnych uchádzačov o štúdium na University of Cambridge, konkrétne pre tretiakov na stredných školách. Organizujú ho Slováci a Česi študujúci na Cambridge, ktorí stredoškolákom robia prehliadky a približujú im, ako to na univerzite funguje. Výberový proces do programu napodobňuje skutočný prijímací proces na univerzitu – od podania prihlášky, písania eseje až po ústny pohovor v angličtine, takže pre mňa to bola zaujímavá skúsenosť.

Aké v tebe zanechala návšteva univerzity pocity – máš chuť študovať na University of Cambridge aj ty?

Áno, plánujem si tam podať prihlášku a budem rád, keď ma prijmú a podarí sa mi zohnať štipendium.

Zvažuješ okrem Cambridge aj nejakú inú univerzitu v zahraničí?

Trinity College na Cambridge je určite moja prvá voľba, ale zvažujem aj iné univerzity vo Veľkej Británii či Francúzsku. Do úvahy pripadajú aj Karlova univerzita v Prahe a MatFyz v Bratislave (Fakulta matematiky, fyziky a informatiky UK, pozn. red.). Moje doterajšie výsledky mi na tieto školy zaručujú prijatie bez prijímacieho konania – z Matfyzu mi to potvrdili už pred viac ako piatimi rokmi (smiech).

Áno, a to vďaka súťažiam – prijatie na tieto vysoké školy býva jednou z cien pre víťazov národných kôl. Držím ti palce v ďalšej ceste za matematikou a informatikou – nech už je to kdekoľvek, u nás alebo na University of Cambridge!

Ďakujem.

Tabuľka s prehľadom Matejových úspechov na medzinárodných súťažiach

Súťaženie vo vedomostných olympiádach je na Slovensku zastrešené Národným inštitútom vzdelávania a mládeže (NIVAM).

*Autor titulnej fotografie: Jakub Krchňavý